Cálculo lógico: la igualdad o bicondicional

Una forma conectar lógicamente dos proposiciones es utilizar poner una condición que necesariamente ha de cumplirse de la forma «si, y solo sí, se cumple la condición… entonces…».

En lógica de clases el símbolo es = y en lógica proposicional ↔ y se lee en lenguaje natural: …, si y solo si, entonces…

Por ejemplo la afirmación «solo si hay corriente la bombilla se enciende», que puede formularse, también como: «la bombilla se enciende, si y solo sí, hay corriente».

se simbolizaría p ↔ q

e implica que una proposición es verdadera si la otra proposición es verdadera, y falsa si la otra es falsa; y tiene la siguiente tabla de verdad

Es decir:

si p es verdadero y q es verdadero p ↔ q es verdadero
si p es falso y q es verdadero p ↔ q es falso
si p es verdadero y q es falso p ↔ q es falso
si p es falso y q es falso p ↔ q es verdadero

En lógica de clases esto mismo sería la igualdad, o identidad, en el que un conjunto está completamente incluido en otro siendo estos idénticos.

«solo si hay corriente la bombilla se enciende» se simbolizaría

A = B y por lo tanto

A = B = def. x (x ε A = x ε B)

Es decir; la clase A es idéntica a la clase B, o la clase A es igual B, o para todo x si x pertenece a la clase A entonces pertenece a la clase B si, y solo si, para todo x si x pertenece a la clase B entonces pertenece a la clase A.

Gráficamente

Si las clases no son idénticas se representan

A ≠ B

Donde

A ≠ B = def. ¬x (x ε A = x ε B)

En las proposiciones condicionales si podemos probar que una de ellas es verdadera entonces podemos deducir, independientemente, y por separado, que la otra también lo es; y que si una es falsa, también lo es la otra. Así, podemos deducir que si no hay corriente la bombilla no está encendida y que si la bombilla no está encendida es porque no hay corriente.

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