Cálculo lógico: la unión, la disyunción «o»

Una forma conectar lógicamente dos proposiciones es utilizar la disyunción «o», que significa que lo que estamos analizando cumple, al menos, una de las condiciones.

En lógica de clases el símbolo es ∪ y en lógica proposicional ∨ se lee en lenguaje natural o.

Por ejemplo la proposición «yo canto o bailo», es verdadera si hago, al menos, una de las dos cosas, y por lo tanto la proposición es verdadera si al menos una de ellas es verdadera; con lo que tendríamos la siguiente tabla de verdad:

«yo canto o bailo» se simbolizaría p ∨ q

Es decir:

si p es verdadero o q es verdadero p ∨ q es verdadero
si p es falso o q es verdadero p ∨ q es verdadero
si p es verdadero o q es falso p ∨ q es verdadero
si p es falso o q es falso p ∨ q es falso

En lógica de clases esto mismo sería la suma, la unión de dos conjuntos, en la que una clase C es la suma de las clases A y B.

«yo canto o bailo» se simbolizaría A ∪ B y por lo tanto

A ∪ B = def. x (x ε A ∪ x ε B)

Es decir; la suma o unión de A y B es la clase de x tales que x pertenece a A o x pertenece a B.

Gráficamente

Así pues, si podemos probar que una de las proposiciones es verdadera (ya sea A o B) podemos deducir que A ∪ B también lo es.

A la hora de operar con la conjunción si no sabemos si A o B son verdaderos pero de A se deduce C y de B también, y por el mismo procedimiento, se deduce C la duda se resuelve, ya que A y B serán verdaderos si C es verdadero y falsos si C en falso. A esto se le llama prueba por casos.

Cabe señalar que la disyunción puede ser inclusiva o exclusiva. En principio debemos tomar la disyunción como inclusiva es decir las dos proposiciones pueden ser verdaderas a la vez, pero en ocasiones las proposiciones son incompatibles entre sí, y por lo tanto si una es cierta la otra es falsa, como por ejemplo: «sales o entras». No obstante, una de las dos condiciones se da.

La disyunción exclusiva puede expresarse así:

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∨ q)

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