Cálculo lógico: la intersección, la conjunción «y»

Para conectar lógicamente dos proposiciones lo más habitual es utilizar la conjunción «y», que significa que lo que estamos analizando cumple, a la vez las dos condiciones.

En lógica de clases el símbolo es ∩ y en lógica proposicional ∧ se lee en lenguaje natural y.

Por ejemplo la proposición «yo canto y bailo», solo es verdadera si hago las dos cosas a la vez, si una de ellas es falsa toda la proposición es falsa, por lo que tendríamos la siguiente tabla de verdad:

«yo canto y bailo» se simbolizaría p ∧ q

 

Es decir:

si p es verdadero y q es verdadero p ∧ q es verdadero
si p es falso y q es verdadero p ∧ q es falso
si p es verdadero y q es falso p ∧ q es falso
si p es falso y q es falso p ∧ q es falso

En lógica de clases esto mismo sería el producto, la intersección, en la que una clase C es el producto de las clases A y B.

«yo canto y bailo» se simbolizaría A ∩ B y por lo tanto

A ∩ B = def. x (x ε A ∩ x ε B)

Es decir; el producto o intersección de A y B es la clase de x tales que x pertenece a A y x pertenece a B.

Gráficamente

Por ejemplo, un coche rojo tendría que cumplir dos condiciones, ser coche y ser rojo (A ∩ B); una puerta cerrada ser puerta y estar cerrada (A ∩ B), etc.

Así pues, si podemos probar por separado que cada una de las proposiciones son verdaderas podemos deducir que A ∩ B también lo es.

Al contrario, también podemos simplificar y si podemos probar que A ∩ B es verdadero podemos afirmar que tanto A como B, por separado, también son verdaderos.

En este tipo de argumentos podemos toparnos con la falacia de la conjunción. Esta falacia consiste en hacernos creer que como una proposición es mucho más probable que otra también es más probable que las dos juntas. Este tipo de falacias fue descrita por Amos Tversky y Daniel Kahneman de la siguiente manera:

Linda tiene 31 años, es soltera, abierta e inteligente. Estudió Filosofía en la Universidad. Durante sus estudios, le preocupaban la discriminación y la justicia social, y participó en manifestaciones antinucleares. ¿Cuál de las dos opciones siguientes es más probable?

1) Linda es cajera en un banco.
2) Linda es cajera en un banco y una activa feminista.

Por mucho que intuitivamente tendamos a decir que la opción 2 lo cierto es que la opción 1 solo tiente que cumplir una condición A, mientras que la opción 2 tiene que cumplir dos condiciones, es decir A ∩ B, y por lo tanto siempre será menos probable.

Supongamos que la opción A (cajera en un banco) es muy poco probable, un 10 %, y que la opción B (una activa feminista) muy probable, un 95 %, es decir, hay un 5 % de mujeres que en su juventud fueron feministas que en su madurez no lo son y ese es el porcentaje que hay que restar de la condición de que sean cajera, para que se cumplan las dos condiciones A ∩ B.

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