¿Qué es un axioma?

¿Cómo podemos saber si algo que se dice es verdad o no? En realidad tenemos dos caminos uno es la experiencia directa de los hechos y otro el de la deducción de a partir de los hechos que conocemos, el camino de la lógica.

Pero hay un problema, no siempre la experiencia directa de los hechos nos dice si algo es verdad o no, ya que podemos no conocer todos los elementos que están interactuando, es lo que ocurre con cualquier truco de magia.

Pero entonces tenemos un segundo problema: si la lógica deduce a partir de los hechos que conocemos y no podemos estar seguros de si estos son verdad o no, no podremos estar seguros de si las conclusiones son ciertas o falsas. ¿Cómo solucionamos este problema?

Bueno, de algunos hechos (pocos, pero los hay) sí que podemos estar seguros de que son verdad, con un nivel de certeza casi absoluto. Incluso podemos hacer algunas pocas afirmaciones tan evidentes que no necesitan ser demostradas, son los axiomas, y es a partir de ellos como construimos la lógica.

Por supuesto estos axiomas, estas verdades evidentes y que no necesitan ser demostradas tiene que tener unas condiciones, no vale cualquier cosa, ni el que yo lo diga.

  • Deben de ser pocas.
  • Deben de permitir que se saquen conclusiones a partir de ellas, no pueden ser la conclusión.
  • Deben de poder ser comprobadas por cualquiera en cualquier momento y de forma independiente.

Por ejemplo, de los cinco axiomas de Peano se deduce buena parte de las matemáticas, y son tan simples como:

  1. El 0 es un número natural.
  2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
  3. El 0 no es el sucesor de algún número natural.
  4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
  5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

En ocasiones podemos hacer deducciones tomando como verdaderas afirmaciones que sí necesitan demostración, son los postulados. Suponemos, por un momento, que son verdaderos (o falsos) y sacamos conclusiones a partir de ellos. En muchas ocasiones la validez de los postulados se conoce tras comprobar si las conclusiones son consistentes o no con los hechos.

Por supuesto las cosas no son tan simples, y normalmente no necesitamos un solo axioma para deducirlo todo, si no que necesitamos más de uno, es decir y sistema axiomático. Pero un sistema axiomático requiere de otras condiciones, la más importante de ellas es que los axiomas no se contradigan entre sí. Con ellos deberíamos poder deducir todo lógicamente, pero no es posible, Kurt Gödel demostró que siempre habrá al menos un axioma que no se puede demostrar, es sus famosos teoremas de la incompletitud. No obstante, y al margen de estos límites de la lógica y las matemáticas, todo lo que sabemos con suficente seguridad procede de estos principios.

Por último tenemos los teoremas, que son afirmaciones que se pueden demostrar tomando como base los axiomas u otros teoremas ya demostrados.

Cuando de la demostración de un teorema se deriva una conclusión lógica inmediata se llama corolario.

Pero sigamos en este otro artículo con la lógica.

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